Ваш персональный компьютер

Решим систему уравнений

5х₁ + 4х₂ + 5х₃ = 2400

4х₁ + 3х₂ + х₃ = 1450

5х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 1550.

Количество переменных в системе уравнений должно быть равно количеству уравнений.  Уравнения должны быть записаны в стандартной форме. Если это необходимо, используйте основы алгебры и перепишите уравнение так, чтобы все переменные отображались по левую сторону от знака равенства.  В нашем примере уравнения приведены в стандартном виде.

Запишем систему уравнений в матричном виде: АХ = В, где

Если определитель системы отличен от нуля, т.е. |А|≠0, то решение системы можно найти по формуле:

X = А^-1В,

где А^-1 – обратная матрица.

Таким образом, для нахождения корней системы уравнений необходимо:

– вычислить определитель матрицы А (функция МОПРЕД);

– найти обратную матрицу А^-1 (функция МОБР);

– найти произведение матриц А^-1В (функция МУМНОЖ).

Примечание. Систему уравнений можно решить по формуле Крамера:

где D – определитель системы;

D_i – определитель матрицы А_i, получаемой из матрицы А заменой i-го столбца (т.е. столбца коэффициентов при неизвестном х_i) вектором свободных членов.

Решение системы линейных уравнений в Excel

Распределим ячейки рабочего листа (рис. 2).

1. В указанные ниже ячейки введем значения элементов матриц А и В:

a) в диапазон ячеек D4: F6 введем значения элементов матрицы А;

b) в диапазон ячеек I4:I6 введем значения элементов столбца В.

2. Для размещения элементов обратной матрицы А^-1 отведем блок ячеек D8: F10.

3. Для размещения результата (для переменных х_i, i = 1, 2, 3) отведем диапазон ячеек I8:I10.

Рис. 2

Убедимся, что определитель матрицы А отличен от нуля. Для этого в ячейку D2 введем формулу =МОПРЕД(D4:F6). В ячейке D2 получили результат –28. Следовательно, матрица А имеет обратную.

Вычислим обратную матрицу А^-1. Для этого выполним следующие действия.

1. Выделим для результата блок ячеек D8:F10, начиная с ячейки D8;

2. Выполним команду Вставка –> Функция –> МОБР –> ОК.

3. В поле Массив введем адреса ячеек, где размещены элементы матрицы А, т.е. D4:F6.

4. Нажмем клавиши Shift + Ctrl + Enter.

Результат вычисления отобразится в ячейках D8:F10 (рис. 3).

Чтобы найти элементы столбца Х, умножим обратную матрицу А^-1 на столбец В. Для этого выполним следующие действия:

1. Выделим диапазон ячеек I8:I10;

2. Выполним команду Вставка –> Функция –> МУМНОЖ –> ОК.

3. В поле Массив1 введем адреса ячеек, где размещены элементы матрицы А^-1, т.е. D8:F10, а в поле Массив2 – адреса ячеек, где размещен столбец В, т.е. I4:I6;

4. Нажмем клавиши Shift + Ctrl + Enter.

Результат вычисления появится в ячейках I8:I10 (рис. 3).Получили решение системы уравнений х₁ = 113; х₂ = 288; х₃ = 138.

Рис. 3